“不给力啊,老湿!”:RSA加密与破解

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

加密和解密是自古都有技术了。老会 都看侦探电影的桥段,勇敢又机智的主角,拿着一长串毫无意义的数字苦恼,忽然灵光一闪,翻出一本厚书,将第一个多多多多数字对应页码数,第三个数字对应行数,第一个多多多多数字对应那一行的某个词。数字变成了一串非常有意义语录:

Eat the beancurd with the peanut. Taste like the ham.

主角喜极而泣……

你统统加密法律方法是将那我 的你是什么生活信息按照某个规律打乱。你是什么生活打乱的法律方法就叫做密钥(cipher code)。发出信息的人根据密钥来给信息加密,而接收信息的人利用相同的密钥,来给信息解密。就好像一个多多多多带锁的盒子。发送信息的人将信息中放盒子里,用钥匙锁上。而接受信息的人则用相同的钥匙打开。加密和解密用的是同一个多多多多密钥,你统统加密称为对称加密(symmetric encryption)。

并且一对一语录,不不 不不 两人时需交换一个多多多多密钥。一对多语录,比如总部和多个特工的通信,依然还时需使用同一套密钥。但你统统情況下,对手偷到一个多多多多密钥语录,就知道所有交流的信息了。二战中盟军的情报战成果,统统都来自于破获你统统对称加密的密钥。

二战中德军的传奇加密机:Enigma

为了更安全,总部时需给每个特工都设计一个多多多多不同的密钥。并且是FBI那我 庞大的机构,恐怕不能自己维护不不 不不 多的密钥。在现代社会,每当时人的信用卡信息都时需加密。一一设计密钥语录,银行怕是要跪了。

对称加密的薄弱之存在于给了太少人的钥匙。并且只给特工锁,而总部保有钥匙,那就容易了。特工将信息用锁锁到盒子里,谁也打不开,除非到总部用唯一的一把钥匙打开。可是那我 语录,特工每次出门都有带上统统锁,太容易被识破身份了。总部老大想了想,干脆就把造锁的技术公开了。特工,并且任何其它人,还时需就地取材,按照图纸造锁,但无法根据图纸发明权权钥匙。钥匙不不 不不 总部的那一把。

上边的关键是锁和钥匙工艺不同。知道了锁,何必 能知道钥匙。那我 ,银行还时需将“造锁”的法律方法公布给所有用户。每个用户还时需用锁来加密当时人的信用卡信息。即使被别人窃听到,可是用担心:不不 不不 银行才有钥匙呢!那我 你是什么生活加密算法叫做非对称加密(asymmetric encryption)。非对称加密的经典算法是RSA算法。它来自于数论与计算机计数的奇妙结合。

为了了解RSA加密,请听一个多多多多卧底的自白:

RSA加密

我是潜伏在龙凤大酒楼的卧底。想让下面信息以加密的法律方法发送到总部:

A CHEF HIDE A BED

厨子藏起来了一张床!这是不不 不不 的重要,时需立即通知总部。千万重要的是,不不 让反革命的厨子知道。

第一步是转码,也可是将英文转加在某个对应的数字。你统统对应很容易建立,比如:

A B C D E F G H I
1 2 3 4 5 6 7 8 9

将上边的信息转码,获得下面的数字序列:



A CHEF HIDE A BED 1 3856 8945 1 254

这串数字删改不不 不不 那先 秘密可言。厨子发现了这串数字并且,很容易根据数字顺序,对应字母表猜出来。

为了和狡猾的厨子斗智斗勇,统统人 时需对这串数字进一步加密。使用总部发给统统人 的锁,一个多多多多数字:3和10。统统人 分为两步解决。

第一步是求乘方。第一个多多多多数字是3,也可是说,总部指示统统人 ,求上边数字串的3次方:

原字符串: 1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

三次乘方: 1  27 512 125 216 512 729  64 125   1   8 125  64

第二步是求余数。第三个上锁的数字是10,将上边每个三次乘方除以10,获得其余数:

余数: 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4

将这串数字发回总部。中途被厨子偷都看,但一时不不 了解其中的意思。并且还是像刚才一样对应字母表语录,信息是:

AGBEFBIDEAHED

这串字母删改不涵盖正常的单词。

信息到了总部。总部刚开始了了用神奇的钥匙来解读。你统统钥匙是3。(偷偷告诉你的,别告诉厨子。)

(这里钥匙不小心和并且锁中的一个多多多多数字相同。这可是巧合。)

解锁过程也是两步。第一步求钥匙次的乘方,即3次方。第二步求它们除以10(锁之一)的余数。

加密信息:1   7   2   5   6   2   9   4   5   1   8   5   4

三次乘方:1 343   8 125 216   8 729  64 125   1 512 125  64 (这里用的是钥匙的“3”)

除十得余:1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

正是统统人 发送的信息。对应字母表,总部还时需立即知道那我 的信息。

特工练习

再次强调,为了演示方便,选者了简单的锁和钥匙。锁和钥匙可是凑巧相同。为此,统统人 做一个多多多多小练习。

练习:总部新公布出来的锁是2987(次乘方)和3937(为除数)。

1) 作为特工,用上边的算法为信息加密(你并且时需统统编程来计算,尝试用Python的数学计算功能?)。

猜到钥匙是那先 了呢?都有上边一个多多多多数字中的任何一个多多多多,可是143!

2) 作为值班人员,验证143是钥匙,还时需解密信息。

为了简便,我能 只检验一个多多多多简单的信息,比如“IE”。

下面是我根据你统统练习写的一个多多多多Python小线程。这里的转码用的是ASCII编码标准,而都有上边的A对应1,B对应2。

# By Vamei

#==== Agent ========
# coding covert: string to number
# By ASCII convention
def convert(original):
    return map(ord, original)

# the input is a list of integers
def encrypt(input_list):
    f = lambda x: (x**2987)%3937
    return map(f, input_list)

#==== Headquarter =====
# the input is the result of the encrypt function
def decrypt(encrypted_list):
    f = lambda x: (x**143)%3937
    return map(f, encrypted_list)

# convert numbers back to a string
def inv_convert(decrypt_list):
    f = lambda x: str(unichr(x))
    result = map(f, decrypt_list)
    return "".join(result)

# Test
message = "Go to hell!"
secret = encrypt(convert(message))
print(secret)
public = inv_convert(decrypt(secret))
print(public)

费马与欧拉

发觉当时人被愚弄了,厨子很生气,后果很严重。厨子发奋都看书,知道了你统统加密法律方法叫RSA,是三为伟大的发明权权 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起来的。RSA算法是1977年发明权权的。全称是RSA Public Key System。你统统"Public Key"是公共密钥,也可是统统人 上边说的锁。再读下去,厨子大窘。你统统1977年的,现代计算机加密的RSA算法,居然源于17世纪。

1. 费马小定律

RSA的原理借助了数论中的“欧拉定理”(Euler's theorem)。17世纪的费马首先给出一个多多多多该定理的特殊形式,即“费马小定理”:

p是一个多多多多正的质数,a是任意一个多多多多不不 被p整除的整数。不不 不不 ,[$a^{p-1} - 1$]能被p整除。

统统人 何必 时需太少入了解费马小定理,并且等下就会都看你统统定理的“升级版”。但你统统定理依然很美妙,它优美的得到乘方和整除的你是什么生活特殊关系。使用一个多多多多例子来说明它。比如[$p = 7,a = 3$]。不不 不不 费马小定律表示,[$3^{ 7 - 1} - 1$]还时需被7整除。

事实上,上边的数字计算得到[$3^6 - 1 = 728$],它真是 还时需被7整除。

练习:尝试一个多多多多其它的例子,比如[$p = 5, a = 4$],验证费马小定律不是成立。

*** 数学小贴士:

1) 除 (divide),商余数:一个多多多多整数相除,一个多多多多为整数的商,和一个多多多多余数。比如[$10/3 = 3, \,余1$]。统统人 用一个多多多多有点儿的法律方法记录你统统叙述:

$$10 \equiv 1 (mod\, 3)$$

也还时需写成另你是什么生活法律方法:

$$[10]_3 = [1]_3$$

你统统表述法律方法与“10除以3,得3余1”那我 的法律方法并不不 不不 那先 区别。但采用标准的数学法律方法更容易和别人交流。

并且统统人 知道:

$$[a]_n = [b]_n$$

不不 不不 存在某个整数t,且:

$$a = nt + b$$

2) 整除 (divisible):当一个多多多多整数a除以那我 整数b,余数为0时,不不 不不 统统人 说a还时需被b整除。比如说,4还时需被2整除。即

$$[4]_2 = [0]_2$$

3) 质数 (prime number):一个多多多多质数是不不 不不 被[$ \pm 1$]和你统统数自身整除的整数(不包括[$ \pm 1$])。比如[$2,3,5,7,11,13$]等等。

******

费马是一名律师,也是一名业余数学家。他对数学贡献很大,堪称“业余数学家之王”。比如他和帕斯卡的通信不是概率论的开端。还有“费马大定理”,并且称为“费马猜想”。费马有在书边写注释的习惯。他在页边角写下了费马猜想,并说:

我发现了一个多多多多美妙的证明,但并且空白太小而不不 不不 写下来。

费马当时人的证明不不 不不 再被发现。“费马猜想”的证明是50多年后,以现代数学为工具证得的,而那先 数学工具在费马的时代是不存在的。这原应 现代的数学家怀疑费马是都有在吹牛。费马小定理是费马的那我 定理。在费马那里,也还是个猜想。证明要等到欧拉。

线程员们:注释要删改啊!

2. 欧拉定律

时间流过一百年。欧拉是18世纪的瑞典数学家。这位数学巨人写了75本数学专著,几乎把当时所有的数学领域都征服了一遍。欧拉并且被叶卡捷琳娜二世邀请到俄国。据说,无神论者狄徳罗造访俄国,他宣称上帝何必 存在,靠雄辩击败了整个俄国宫廷。欧拉曾醉心神学,对上帝很虔诚。欧拉看不下去了,上前说,“先生,[$e^{i\pi} + 1= 0$],统统上帝存在。请回答!” 狄徳罗败我能 统统那先 的现象,灰溜溜的走了。

(你统统传说的可信度不高,并且狄徳罗当时人也是一位颇有造诣的数学家。)

欧拉定理(Euler's theorem)是欧拉在证明费马小定理的过程中,发现的一个多多多多适用性更广的定理。

首先定义一个多多多多函数,叫做欧拉Phi函数,即[$\phi(n)$],其中,n是一个多多多多正整数。

$$\phi(n) = 总数(从1到n-1,与n互质的整数)$$

比如5,不不 不不 1,2,3,4,都与5互质。与5互质的数一个多多多多多。[$\phi(5) = 4$]

再比如6,与1,5互质,与2,3,4何必 互质。并且,[$\phi(6) = 2$]

对于一个多多多多质数p来说,它和1, 2, 3, ..., p - 1都互质,统统[$\phi(p) = p - 1$]。比如[$\phi(7) = 6, \phi(11) = 10$]

*** “互质”的数学小贴士:

1) 因子 (factor):每个整数都还时需写成质数相乘的形式,每个那我 的质数称为该整数的一个多多多多因子。

2) 互质 (relative prime):并且一个多多多多整数不不 不不 公共因子,你统统个多多质数互质。

******

欧拉定理叙述如下:

并且n是一个多多多多正整数,a是任意一个多多多多非0整数,且n和a互质。不不 不不 ,[$a^{\phi(n)} - 1$]还时需被n整除。  (1)

并且质数p有[$\phi(p) = p - 1$]。并且,从欧拉定理还时需推出费马小定理。统统人 还时需只使用欧拉定理,把费马小定理抛到脑后了。统统人 用一个多多多多例子简单的检验欧拉定理。并且n是6,不不 不不 [$\phi(6) = 2$]。让a是11,和6互质。[$11^2 - 1$]为120,真是 还时需被n,也可是6整除,符合欧拉定理。

数学中还一个多多多多关于Phi函数的推论

m和n是互质的正整数。不不 不不 ,[$\phi(mn) = \phi(m) \phi(n)$]        (2)

RSA西游记

下面统统人 要进入实质的证明。除了上边的(1)和(2)推论,还时需提前说明一个多多多多那先 的现象,即:

[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]        (3)

证明:假设a和b除以n的余数为[$c_1, c_2$]。a和b还时需写成[$a = nt_1 + c_1, b = nt_2 + c_2$]。不不 不不 ,[$ab = n^2t_1t_2 + nt_1c_2 + nt_2c_1 + c_1c_2$]。并且ab除以n的余数为[$c_1c_2$]。即[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]。

根据此还时需推论,[$[a^m]_n = [a]_n^m$]。

演一出叫做“西游记”的大戏,选角刚开始了了:

先选者一个多多多多质数p和q,分别是沙和尚和白龙马。让[$n = pq$],n是唐僧。一路向西,唐僧靠的是沙和尚和白龙马出力:一个多多多多背行李,一个多多多多驮人。

而[$k = \phi(n) = (p - 1)(q - 1)$]。这里使用了(2)以及“质数p的Phi函数值为p-1”。k是八戒,也可是Phi(唐僧),可是唐僧的一个多多多多跟屁虫。

选者任意d,并保证它与k互质。d是观音。观音姐姐在高老庄,真的是把八戒给“质”了一把。

取整数e,使得[$[de]_k = [1]_k$]。也可是说[$de = kt + 1$],t为某一整数。e是悟空,横行无忌。

统统人 记得公开的用来上锁的一个多多多多数字,它们分别是悟空e和唐僧n。悟空威力大,负责乘方。唐僧太唠叨:一切妖怪见到它,就变成了余数。悟空和唐僧合作法律方法法律方法,就把世界搞乱了。

总部的观音姐姐d看不下去了。观音姐姐威力也大,也是乘方。再逼着唐僧重新唠叨。世界就恢复了。

善哉,善哉!

统统人 看一下你统统魔幻大片“西游记”的现实主义原理。根据欧拉定理(1),对于任意z,并且z与n互质,不不 不不 :

$$[z^{\phi(n)}]_n = [z^k]_n = [1]_n$$

并且,

$$[z^{de}]_n = [z^{kt + 1}]_n = [(z^k)^tz]_n =  [z]_n$$

上边主要使用了[$de = kt + 1$]以及(3)。也可是说:

$$[z^{de}]_n = [z]_n$$

根据(3)的推论,有

$$([z^e]_n)^d = [z]_n$$

妖怪z,经过e和d的各一道,又变回了妖!上边过程中,悟空e和观音d忙得不亦乐乎,唐僧n就在一旁边唠叨边打酱油了。

你统统等式,也正是统统人 加密又解密的过程 (加密: 悟空次方 + 唐僧唠叨。解密: 观音次方 + 唐僧唠叨)。悟空和唐僧是公钥,扔出去亮相。观音是私钥,偷偷藏起来,必要的并且才出来。

(上边都默认余数是最小正余数,也可是说,10除以3的余数为1,而都有4。尽管4也还时需不是10的余数,即[$[4]_3 = [10]_3$]。)

姐姐,饶了我吧。

3和8一个多多多多妖怪见到唐僧5,都被唠叨成了余数3。那我 就观音姐姐就算法力无边,还是不不 不不 还原。为了让唐僧求余的并且,不不把数字弄混了,RSA算法要求所有妖怪z小于唐僧n。为了对足够多的字符转码加密,n时需大过最大的妖怪。

但唐僧n大更重要的原应 是要保护马仔。想破解,时需找到观音。回顾统统人 选者角色的过程。统统人 还时需那我 破解:唐僧n是公开的,1) 先找到它的隐藏手下沙和尚和白龙马。2) 沙和尚和白龙马知道了,不不 不不 二师兄k就保不住了。3) de = kt + 1,即找到一个多多多多e,还时需让de - 1被k整除。观音姐姐就找到了。

上边的整个破解过程中,最困难的是第一步,即找到一个多多多多隐藏的打手。通常,p和q一定会选的非常大,比如说50位。这原应 唐僧n也非常大,有50位。寻找一个多多多多50位数字的质数分解何必 容易,统统人 要做的除法运算次数要花费为[$\sqrt{10^{50}}/2$]。这是[$10^{199}$]次除法运算!天河2号每秒浮点运不是[$10^{16}$]级别。不不 不不 ,找到隐藏打手的工作,要花费时需[$10^{174}$]年……。你统统活,看来不不 不不 佛祖干了。

练习 并且唐僧缺乏大语录,马仔就危险了。想想并且的厨子,知道悟空是3,唐僧是10。隐藏打手是谁? 八戒呢? 观音呢?

总之,带头大哥缺乏“罩”语录,团伙就要被一窝端了。

总结

正如我在“数学与编程”中提到的,数学还时需是线程员军火库涵盖力的武器。加密、解密你统统事关IT安全的大课题,却和数论你统统纯粹数应学科存在奇妙的关系。RSA算法的数学基础在于欧拉定理。你统统诞生了几百年不不 不不 那先 实用性的数学理论,却在网络时代,找到当时人的栖身之处。

RSA算法是非对称算法。公开的加密法律方法,私有的解密法律方法。RSA安全的关键在于不能自己对一个多多多多大的整数进行因子分解。下一次,并且都看RSA被破解你是什么的消息,卧底时需大喊一声:“不给力呀,老湿!”